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条件期望:Conditional Expectation 举例详解之入门之入门之草履虫都说听懂了

Lotus2022-10-06 19:40技术

我知道有很多人理解不了 “条件期望” (Conditional Expectation) 这个东西,有的时候没看清把随机变量看成事件,把 \(\sigma\)-algebra 看成随机变量从而思路全错的时候,我也会觉得莫名奇妙。所以在这里用一个极其简单的例子解释一下,只要你是一只上过高中的草履虫那就能听懂。

\[\]

我们来丢一枚质地均匀的硬币(意味着得到正面与反面的概率各为 \(\frac{1}{2}\)),连丢两次并记录两次结果。那么很容易可以写出全集 \(\Omega = \left\{ HH, HT, TH, TT \right\}\)\(H\)\(T\) 分别代表正面和反面。现在是第一个需要稍加思考的地方,令 \(\mathcal{G}\) 为一个 \(\sigma\)-algebra,其中包括了第一次丢硬币结果的信息,请问 \(\mathcal{G}\) 是什么?




稍加思考,不难得出 \(\mathcal{G} = \left\{\Omega, ~ \emptyset, ~ \left\{ HH, HT \right\}, ~ \left\{ TT, TH \right\} \right\}\),这里也做出一个解释。首先要明确的是,\(\Omega\) 中的元素 (例如 \(HH\)) 和 \(\mathcal{G}\) 中的元素 (例如 \(\left\{ HH, HT \right\}\)) 之间的区别:前者是结果 (outcome),后者是事件 (event)。我们对于一次 “抽样”,只能得到一种结果,例如 \(HH\),代表丢两次硬币后得到两个正面的结果。但不同的结果由于共享某些特性,可以被划分在同一个事件当中,例如,丢两次硬币产生相同的结果应有两种,即同时为正面或同时为背面 (i.e. \(HH\)\(TT\)),它们归属于 “丢两次硬币产生相同的结果” 的事件:\(\left\{ HH, TT \right\}\)。回到问题,现在我们已知了第一次丢硬币后结果的信息,也就是 "第一次丢硬币是正面还是背面",那么我们自然可以得出 \(\mathcal{G}\) 是由集类:\(\left\{ \left\{ HH, HT \right\}, ~ \left\{TT, TH \right\} \right\}\) 生成的 \(\sigma\)-algebra。这是因为第一次扔硬币的结果已经被确定——无论它是正面还是背面:如果是正面,那么结果无非两种:两次都正面或第一次正面第二次背面;如果是背面,结果也无非两种:两次都背面或第一次背面第二次正面。结合以下树结构,在得知第一次扔硬币结果的信息后,相当于从根 \(XX\) 来到了第一层 \(HX\)\(TX\)\(X\) 代表未知信息)。




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同时,这也从另一个角度说明为什么概率论最终需要引入 “测度” 的定义——为了描述一种信息变化的过程。当我们并不知道第一次扔硬币的结果时,在全空间 \(\Omega\) 上定义的测度空间为 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\),其中:

\[\mathcal{F}:= \left\{ \Omega, ~ \emptyset, ~ \left\{ HH \right\}, ~ \left\{ HT \right\}, ~ \left\{ TH \right\}, ~ \left\{ TT \right\}, ~ \left\{ HT, HT \right\}, \ldots \right\} \]

where \(\mathcal{F}\) 的 cardinality: \(|\mathcal{F}| = 2^{4} = 16\)

\[\]

而当已知第一次的信息后,\(\sigma\)-algebra 随即收缩为:

\[\mathcal{G}:= \left\{ \Omega, ~ \emptyset, ~ \left\{ HH, HT \right\}, ~ \left\{ TH, TT \right\} \right\} \]

\[\]

现在考虑条件期望: \(\mathbb{E}\left[ X ~ | ~ \mathcal{G} \right]\)。其中,\(\mathcal{G}\) 如上记作第一次丢完硬币后结果的全部信息,对于 \(\forall w \in \Omega:\) 随机变量 \(X\) 定义为:

\[X(w) = \begin{cases} a \qquad \mbox{if } ~ w = HH\\ b \qquad \mbox{if } ~ w = HT\\ c \qquad \mbox{if } ~ w = TH\\ d \qquad \mbox{if } ~ w = TT\\ \end{cases} \]

其中 \(a, b, c, d \geq 0\)




Definition. (Conditional Expectation)

\(X\) 为一个定义在 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 上的非负随机变量。令 \(G_{1}, G_{2}, \ldots\) 为一个两两不相交的事件序列,且对于 \(\forall n \in \mathbb{N}^{+}: ~ P(G_{n}) > 0\),并且 \(\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}^{+}} G_{n} = \Omega\)。令 \(\mathcal{G}\) 为包含 \(\left\{ G_{1}, G_{2}, \ldots \right\}\) 的最小 \(\sigma\)-algebra,即,任意 \(\mathcal{G}\) 的元素都可以写作 \(\bigcup\limits_{n \in I} G_{n}\) 的形式,其中 \(I \subset \mathbb{N}^{+}\) (\(I\)\(\mathbb{N}^{+}\) 的某些子集)。那么:

\[\mathbb{E}\left[ X ~ | ~ \mathcal{G} \right](w) = \mathbb{E}\left[ X ~ | ~ G_{n} \right] = \frac{\mathbb{E}\left[ X \cdot \mathbb{I}_{G_{n}} \right]}{P(G_{n})} \qquad \qquad \mbox{if } w \in G_{n} \]

首先,\(\mathbb{I}_{G_{n}}\)是一个随机变量,或者说函数:

\[\mathbb{I}_{G_{n}}: \Omega \longrightarrow \left\{ 0, 1 \right\}, \quad x \longrightarrow \mathbb{I}_{G_{n}}(x) = \begin{cases} 1 \qquad \mbox{if } x \in G_{n}\\ 0 \qquad \mbox{otherwise} \end{cases} \]

因此则可以判定,Conditional Expectation \(\mathbb{E}\left[ X ~ | ~ \mathcal{G} \right]\) 算出来也是一个随机变量,而并非常数。最后,我们可以发现一旦假设 \(w \in G_{n}\),那么一定意味着 \(w \notin G_{k}, ~ \forall k \in \mathbb{N}^{+}\setminus\left\{n\right\}\)




回到扔硬币的例子。这里显然我们有:\(G_{1} = \left\{ HH, HT \right\}, ~ G_{2} = \left\{ TT, TH \right\}\),且 \(G_{1} \cup G_{2} = \Omega\)。那么。我们现在只需要依次:假设 \(w \in G_{n}\) 并求 \(\frac{\mathbb{E}\left[ X \cdot \mathbb{I}_{G_{n}} \right]}{P(G_{n})}\),最后将所有所求结果相加即可。

\[\]

  • 假设 \(w \in G_{1} = \left\{ HH, HT \right\}\)

\[ \begin{align*} \mathbb{E}\left[ X ~ | ~ \mathcal{G} \right](w) &= \frac{\mathbb{E}\left[ X \cdot \mathbb{I}_{G_{1}}, ~ w \in G_{1} \right]}{P(G_{1})}\\ &= \frac{\sum\limits_{w \in G_{1}}\mathbb{E}\left[ X \cdot \mathbb{I}_{G_{1}} ~ | ~ w \in G_{1} \right] \cdot P\big(\left\{ w \right\}\big)}{P(G_{1})}\\ &= \frac{\sum\limits_{w \in G_{1}} X(w) \cdot P\big(\left\{ w \right\}\big)}{P(G_{1})}\\ & = \frac{X(HH) \cdot P\big( \left\{ HH \right\} \big) + X(HT) \cdot P\big( \left\{ HT \right\} \big)}{P\big( \left\{ HH, HT \right\} \big)}\\ & = \frac{\frac{1}{4} \cdot a + \frac{1}{4} \cdot b}{\frac{1}{2}}\\ & = \frac{a + b}{2} \end{align*} \]


  • 假设 \(w \in G_{2} = \left\{ TT, TH \right\}\)

\[ \begin{align*} \mathbb{E}\left[ X ~ | ~ \mathcal{G} \right](w) &= \frac{\mathbb{E}\left[ X \cdot \mathbb{I}_{G_{2}}, ~ w \in G_{2} \right]}{P(G_{2})}\\ &= \frac{\sum\limits_{w \in G_{2}}\mathbb{E}\left[ X \cdot \mathbb{I}_{G_{2}} ~ | ~ w \in G_{2} \right] \cdot P\big(\left\{ w \right\}\big)}{P(G_{2})}\\ &= \frac{\sum\limits_{w \in G_{2}} X(w) \cdot P\big(\left\{ w \right\}\big)}{P(G_{2})}\\ & = \frac{X(TT) \cdot P\big( \left\{ TT \right\} \big) + X(TH) \cdot P\big( \left\{ TH \right\} \big)}{P\big( \left\{ TT, TH \right\} \big)}\\ & = \frac{\frac{1}{4} \cdot c + \frac{1}{4} \cdot d}{\frac{1}{2}}\\ & = \frac{c + d}{2} \end{align*} \]


综上所述:

\[\mathbb{E}\left[ X ~ | ~ \mathcal{G} \right](w) = \begin{cases} \frac{a + b}{2} \qquad \mbox{if } ~ w \in \left\{ HH, HT \right\}\\ \frac{c + d}{2} \qquad \mbox{if } ~ w \in \left\{ TT, TH \right\}\\ \end{cases} \]

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